幂函数导数

来源：西安伊顿高中文化课辅导机构时间：2023/6/21 9:51:37

　　幂函数的导数是ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明：y=x^a，两边取对数lny=alnx，两边对x求导(1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

　　什么是幂函数

　　幂函数是基本初等函数之一。

　　一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。

　　幂函数的一般形式是 ，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形(a为无理数时，定义域为(0，+∞) )，这时可表示为 ，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。

　　幂函数的性质是怎样的

　　正值性质

　　当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

　　a、图像都经过点(1,1)(0,0);

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

　　c、在象限内，α>1时，导数值逐渐增大;α=1时，导数为常数;0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0(函数值递增);

　　负值性质

　　当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1);

　　b、图像在区间(0，+∞)上是减函数;(内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。

　　c、在象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

　　零值性质

　　当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

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